A1/Statistische Beschreibung

Aus QuaNTH
Wechseln zu: Navigation, Suche

A1

Einzelsysteme
Einführung

Lektionen


Abb. 2 Vier Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Ergebnis einer Messung.


Ursachen für statistisches Verhalten

An dieser Stelle ist es wichtig, noch einmal einen Punkt aus dem letzten Absatz genauer zu betrachten: Das Ergebnis des Experimentes ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dies steht leicht im Gegensatz zum üblichen Gebrauch des Begriffs Experiment in der klassischen Physik - dort macht man oft ein Experiment, um eine bestimmte Größe, z.B. die Masse eines Gegenstandes, zu messen. Für eine solche Messung würde man erwarten, dass ein ideales Messgerät immer denselben Wert liefert, egal wie oft man die Messung durchführt. Eine nicht-triviale Statistik würde sich nur ergeben, wenn das Messgerät fehlerhaft ist (also nicht den "wahren" Wert anzeigt) oder das zu messende Objekt mit der Zeit seine Masse verändert.

In der klassischen Physik kann jede Messung so beschrieben werden: Die Notwendigkeit einer statistischen Behandlung entsteht dadurch, dass einige Parameter des Systems nicht gut genug kontrolliert werden können (wie das rauschende Messgerät) oder die Rahmenbedingungen nicht gut gewählt sind (Objekt verliert beim Wiegen Masse). Im Prinzip könnten aber all diese Gründe abgestellt werden, wenn man das System nur gut genug kontrollieren könnte. Eine solch perfekte Kontrolle gibt es in der klassischen Mechanik natürlich auch nicht unter realistischen Bedingungen, aber es gibt in der klassischen Mechanik keine fundamentale Schranke, wie genau man ein System kontrollieren könnte. Man sagt hierzu auch, der Zufall in der klassischen Mechanik ist "Zufall aus Unkenntnis".

In der Quantenphysik ist dies nicht so. Hier gibt es Situationen, bei denen sich die Statistik des Experimentes nicht auflösen lässt. Selbst wenn man alles über das System weiß, was es zu wissen gibt, kann man den Messwert einer einzelnen Instanz einer Messung nicht immer vorhersagen. Man spricht in der Quantenphysik in diesem Zusammenhang auch von "objektivem Zufall".


Eigenschaften von Verteilungen

Wir hatten im letzten Abschnitt festgestellt, dass Experimente in der Quantenphysik statistisch zu beschreiben sind. Dies bedeutet, dass ein Experiment als Ergebnis nicht einen einzelnen Wert, sondern eine Wahrscheinlichkeitsverteilung liefert.

Betrachten wir noch einmal ein Beispiel für solche Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Abb. 2): Alle hier dargestellten Verteilungen haben denselben Mittelwert, unterscheiden sich aber in ihrer Breite. Die Verteilung (a) ist breiter als (b), was bedeutet, dass vergleichsweise häufiger Werte beobachtet werden, die weiter vom Mittelwert abweichen. Bei der schärferen Verteilung (b) liegen die Messwerte oft nahe dem Mittelwert. Der Extremfall einer unscharfen Verteilung sehen wir in (c). Hier kommt jeder mögliche Messwert mit gleicher Wahrscheinlichkeit vor, was man auch als maximal zufällig bezeichnet. Das Gegenteil davon ist in Abbildung (d) zu sehen. Hier liefert jedes Experiment immer dasselbe Ergebnis, was eine maximal scharfe Verteilung ergibt. In diesem Fall spricht man auch von einem deterministischen Ergebnis der Messung. (Hier noch ein Beispiel zum Gebrauch der Begriffe beim Würfelwurf.)

Um verschiedene Verteilungen vergleichen zu können, führt man ein Maß für die Breite der Verteilung ein - die Streuung (oder Standardabweichung). Wir bezeichnen die Streuung der Größe X mit dem Symbol \Delta(X). Mathematisch ist sie definiert als


\Delta(X) = \sqrt{E(X^2)- E(X)^2},


wobei E(X) für den Erwartungswert der Größe X steht. Damit ist sie die Wurzel der mittleren quadratischen Abweichung der Messwerte vom Mittelwert der Funktion. Anschaulich misst sie die Breite der Verteilung.

In Abb. 2 haben wir die Streuung für die Fälle a) und b) eingezeichnet (gestrichelte Linien). Im Fall der Gleichverteilung c) kommt es auf den möglichen Wertebereich an, während im Falle einer idealen deterministischen Messung d) die Streuung den Wert 0 hat. Man spricht daher bei deterministischen Verteilungen auch von streuungsfreien Verteilungen.


Verteilungen in der Physik

Nun kommen wir wieder zurück zur Physik. Wenn man eine (beliebige) Präparation und eine (beliebige) Messung betrachtet, so können sich, je nachdem, was man betrachtet, mehr oder weniger scharfe Verteilungen ergeben - sowohl in der klassischen als auch in der Quantenphysik. Was man aber in der klassischen Physik zusätzlich weiß, ist dass man im Prinzip die Beschreibung jedes Experiments so weit verfeinern kann, dass die sich für das verfeinerte Experiment ergebende Verteilung immer deterministisch ist. Die Unschärfe der ursprünglichen Verteilung steht dann für unsere Unkenntnis über das Experiment, welche durch die Verfeinerung behoben wurde.

Betrachten wir als Beispiel einen fairen Würfel: Hier ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich für die Ergebnisse eines Wurfs ergibt, gleichverteilt über die Werte von 1 bis 6. Aber die Unbestimmtheit in dieser Verteilung kommt physikalisch natürlich nur von der Unkenntnis der genauen Wurfparameter. Könnte man bei einem Spieler alle Parameter, wie z.B. Abwurfgeschwindigkeit, Lage, Position des Auftreffens, Details der Würfelunterlage etc. kontrollieren, so wäre sämtlicher Zufall aus dem Würfel verschwunden und man könnte gezielt bestimmte Werte erwürfeln (aka. schummeln). Um genau diesem Effekt vorzubeugen, verlangen beispielsweise Casinos, dass Würfel immer in einer bestimmten Weise (z.B. mit einer Hand gegen die gegenüberliegende Seite eines Craps-Tischs) geworfen werden.

In der Quantenphysik ist eine solche Verfeinerung im Allgemeinen nicht möglich. Der Beweis dieser Aussage erfordert das Theorem von Bell und kann erst im Kapitel A.2 gegeben werden.