A1/Unschärferelationen

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A1

Einzelsysteme
Einführung

Lektionen


Abb. 3 Schema der Präparationsunschärfe.
Abb. 4 Schema der Messunschärfe.
Abb. 5 Schema der Störunschärfe.

Unschärferelation der Präparation

Betrachten wir zunächst zwei Messungen, die wir als M_1 und M_2 bezeichnen wollen: Jede der Messungen liefert für sich betrachtet eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die betrachtete Präparation bestimmt ist.

Nun betrachten wir eine Situation, in der wir entweder die Messung M_1 oder die Messung M_2 durchführen. Das heißt, dass wir immer dieselbe Präparation verwenden und dann entweder mit dem Messgerät M_1 oder mit dem Messgerät M_2 messen und so jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die beiden Messungen bestimmen. Wir haben die Situation in Abb. 3 skizziert. So ergibt sich für jede Messung eine Streuung der Verteilung, die wieder von der verwendeten Präparation abhängt. In der Quantenphysik gilt für diese Streuungen ein genereller Zusammenhang, den man auch als Unschärferelation (oder Unbestimmtheitsrelation) bezeichnet. Da er sich im betrachteten Fall immer auf dieselbe Präparation bezieht, sagt man auch: Präparationsunschärferelation. Dieser Zusammenhang besagt, dass für jede Wahl von Messungen M_1 und M_2 eine Konstante c(M_1, M_2) existiert, so dass für das Produkt der Streuungen gilt:


\Delta(M_1)\cdot \Delta(M_2) \geq c(M_1,M_2),


wobei mit \Delta(M_1) die Streuung der von M_1 gemessenen Verteilung gemeint ist.

Betrachten wir zunächst als Beispiel eine Wahl von Messungen, bei der die Konstante c(X,P) möglichst groß wird. Hier ist das Standardbeispiel die Ortsmessung X und die Impulsmessung P eines freien Teilchens. Für diese ergibt sich die Konstante zu c(X,P) = \hbar/2, wobei \hbar die so genannte Planck'sche Konstante ist. Sie hat in SI-Einheiten den numerischen Wert \hbar = 1,05 \cdot 10^{-34} J s. Somit ergibt sich die Unschärferelation zu

\Delta(X)\cdot \Delta(P) \geq \hbar/2.

Dieser Spezialfall der Unschärferelation wird auch als die "Heisenberg'sche Unschärferelation" bezeichnet. Anschaulich bedeutet sie, dass es in der Quantenphysik keine Präparation gibt, die gleichzeitig eine beliebig scharfe Verteilung für Ergebnisse einer Ortsmessung und einer Impulsmessung haben kann. Im Extremfall würde dies bedeuten, dass eine Präparation, die sehr scharfe (quasi deterministische) Ergebnisse für eine Ortsmessung liefert, auch nur beliebig unscharfe Messungen für eine Impulsmessung liefert.

An dieser Stelle sollte man noch einmal ganz deutlich darauf hinweisen, dass sich die Aussage der Unschärfe nicht auf die Mittelwerte der Verteilung bezieht, sondern auf ihre Streuungen. Es ist auch in der Quantenphysik möglich, die Mittelwerte der Verteilungen beliebig genau festzulegen - nur die Streuungen der Messwerte lassen sich nicht gleichzeitig beliebig reduzieren.

Um die Notation geradliniger zu halten, werden wir im Folgenden immer von den zu messenden Größen "Ort" und "Impuls" sprechen; betrachtet man beliebigen Messungen ergeben sich je nach betrachteten Messgrößen entsprechend andere Konstanten.


Unschärferelation der Messung

Die zweite Version der Unschärferelation bezieht sich auf die Messung. Umgangssprachlich wird sie oft verkürzt dargestellt als "Man kann Ort und Impuls eines Quantensystems nicht gleichzeitig beliebig genau messen". Wir wollen diesen Merksatz in diesem Abschnitt mit Inhalt füllen und eine präzisere Definition geben.

Zunächst muss man sich natürlich fragen, welche Situationen man bei der Messunschärfe vergleichen möchte. Es soll ja um den Vorgang des gemeinsamen Messens zweier Größen gehen, also hat man zwei Fälle zu unterscheiden: Im ungestörten Fall wird entweder eine Ortsmessung oder ideale Impulsmessung durchgeführt, im anderen Fall eine gemeinsame Messung für beide Variablen. Im ersten Fall erhält man als Ergebnis der Messung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für Messwerte von entweder Ort oder Impuls, während man im zweiten Fall zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen erhält, eine für Ort und eine für Impuls.

Um die beiden Situationen vergleichen zu können, müssen wir zunächst unterschiedliche Bezeichnungen wählen. Wir nennen die ungestörte Ortsmessung X und die ungestörte Impulsmessung P, sowie die gemeinsame Messung von Ort und Impuls \tilde X \& \tilde P. Die Notation \tilde X soll ausdrücken, dass es sich hierbei um eine Ortsmessung handelt, die Teil einer gemeinsamen Messung ist. Man nennt die Messung dann auch eine Marginalie (oder Marginalverteilung) der gemeinsamen Messung. Wir haben die Situation in Abb. 4 skizziert.

Das Problem besteht nun darin, ein geeignetes Maß für die "Unterschiedlichkeit" zweier Messungen zu finden, welches dann eine quantitative Abschätzung möglich macht. Hierbei möchte man zwei Messungen dann "gleich" nennen, wenn sie dieselben Ergebnisse für sämtliche mögliche Präparationen liefern. Dies bedeutet aber auch, dass das gesuchte Maß für die Abweichung zweier Messgeräte sämtliche mögliche Eingangszustände berücksichtigen sollte. Dies ist eine im Allgemeinen schwierig zu verarbeitende Voraussetzung. Aus praktischen Gesichtspunkten ist es daher notwendig, zunächst nicht sämtliche mögliche Zustände zu betrachten, sondern das Problem für eine bestimmte Klasse von so genannten "Kalibrierzuständen" zu lösen. Um die Messgeräte zu kalibrieren, werden Zustände betrachtet, die für die jeweils betrachtete Messgröße maximal scharf lokalisiert sind, also bei einer idealen (ungestörten) Messung immer denselben Wert liefern würden.

Wir definieren anschaulich die relative Abweichung \Delta(M_1,M_2) zweier Messgeräte M_1 und M_2 als Standardabweichung der Messwerte, die sich für den "schlechtesten" Kalibrierzustand ergibt, also den, für den die Abweichung am größten wird. Die präzise mathematische Formulierung findet sich hier [Link]. Das bedeutet, dass zwei Messungen genau dann gleich sind, also keine Abweichung zeigen, wenn sie für sämtliche Kalibrierzustände dieselben Werte liefern.

Mit dieser Definition kann man nun die Unschärferelation für Messungen herleiten. Seien X ein (ideales) Ortsmessgerät und P ein (ideales) Impulsmessgerät und \tilde X und \tilde P die marginalen Orts- bzw. Impulsausgänge eines gemeinsamen Messgeräts \tilde X \& \tilde P, dann gilt stets

\Delta(\tilde X,X) \cdot \Delta(\tilde P,P) \geq \frac \hbar 2.


Dies ist gerade die Unschärferelation für Messungen. Bisher haben wir nur argumentiert, dass diese Gleichung für die Kalibrierzustände gelten soll. Um die Aussage zu verallgemeinern, muss nun noch gezeigt werden, dass die Ungleichung auch für alle anderen Zustände richtig ist. Wir können das an dieser Stelle technisch nicht durchführen, verweisen aber auf den Beweis in [1].

Wir merken hier noch an, dass die obige Gleichung so nur für die "schlechtesten" Zustände gilt, also für solche, die von den Messungen stark gestört werden. Wenn man sich für einen speziellen Zustand interessiert, muss man die rechte Seite der Gleichung noch um einen zustandsabhängigen Korrekturterm erweitern. Als Beispiel denke man hierbei an einen völlig chaotischen Zustand, also einen, bei dem das Ergebnis jeder Messung maximal zufällig ist. Ein solcher Zustand wird durch eine Messung nicht gestört: Vor und nach der Messung sind alle Ergebnisse zufällig. Dies muss dann in einer zustandsabhängigen Version der Unschärferelation berücksichtigt werden.


Störung durch Messung

Eine weitere Variante der Unschärferelation erhält man, wenn man die durch eine Messung erzeugte Störung betrachtet. Diese kann als Spezialfall der letzten Version betrachtet werden und ist verbunden mit der Aussage: "Man kann den Ort eines Quantensystems nicht messen, ohne seinen Impuls zu stören - und umgekehrt". In seinem 1926er Artikel zu dem Thema beschreibt Heisenberg ein Beispiel für einen Prozess, bei dem die Messung des Ortes eine Störung des Impulses zur Folge hat. Dieses Beispiel ist auch als das "Heisenberg-Mikroskop" bekannt. Anschaulich steht dahinter die Idee, dass das Messgerät eine Wechselwirkung auf das zu messende System auswirkt, die nicht vernachlässigt werden kann.


In diesem Fall vergleicht man also folgende Situationen: Entweder werden Ort bzw. Impuls wieder mit idealen Messgeräten getrennt voneinander betrachtet oder es wird zuerst mit einem Messgerät der Ort und dann anschließend mit einem anderen Messgerät der Impuls gemessen. Wir haben die Situation in Abb. 5 skizziert. Wir sehen aber schon, dass es sich bei dieser Konfiguration um einen Spezialfall der oben beschriebenen Messunschärfe handelt. Auch hier gilt die Relation


\Delta(\tilde X,X) \cdot \Delta(\tilde P,P) \geq \frac \hbar 2,


wobei die Abweichung \Delta wie im letzten Beispiel definiert ist.

Diese Variante der Unschärferelation besagt, dass es in der Quantenphysik im Allgemeinen nicht möglich ist, ein System zu messen, ohne seinen Zustand zu verändern. Dies kann auch für ganz praktische Zwecke verwendet werden: In der Quantenkryptographie wird dieses Prinzip genutzt, um den Einfluss eines Angreifers auf eine Kommunikationsstrecke abzuschätzen. In Lektion A.3 werden wir das Prinzip "Keine Messung ohne Störung" noch einmal genauer betrachten und den Einsatz in der Kryptographie beschreiben.


Nachweise

  1. P. Busch, P. Lahti, R.F. Werner: Proof of Heisenberg's error-disturbance relation, Physical Review Letters 111, 160405 (2013); Online: http://arxiv.org/abs/1306.1565