A2/Das Bellsche Theorem

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A2

Korrelation
Einführung

Lektionen


Abb. 4 Illustration des Bell'schen Theorems: In der Quantenmechanik gelten E und L, nach dem Theorem kann daher K nicht gelten.

Damit kommen wir zur Kernaussage unserer Geschichte, dem sogenannten Bell'schen Theorem, welches besagt, dass die folgenden drei wünschenswerten Eigenschaften einer Theorie nicht alle erfüllt sein können:

(E) Die experimentellen Daten können von der Theorie reproduziert werden. Dies bezieht sich z.B. auf die in der Geschichte hergeleitete Ungleichung.

(K) Die Theorie lässt eine klassische Beschreibung der Systeme zu, also eine Beschreibung jedes Einzelsystems durch eine Liste von Eigenschaften. Diese Eigenschaftenlisten sind dann nichts anderes als ein Satz verborgener Variablen.

(L) Lokalität ist die Aussage, dass Bob sein System beschreiben kann, ohne auf das von Alice Bezug zu nehmen und ohne zu wissen, was Alice tut. Insbesondere verlangt die Lokalität, dass das Bell'sche Telefon nicht funktionieren kann. Lokalität wird von der Relativitätstheorie gefordert, ist aber auch in einer nichtrelativistischen Theorie mit zwei Teilsystemen sinnvoll.

Bezug zur Geschichte

Um eine Abschätzung für Bobs Gewinnstatistik zu erhalten, hatten wir zunächst L und K angenommen und Bob folgern lassen, dass dann E nicht gelten kann, was wir durch eine einfache Ungleichung ausgedrückt haben. In einer etwas allgemeineren Version wird dies durch die sogenannte Bell'sche Ungleichung quantifiziert [1]. Unsere Aussage über das Bell'sche Telefon wiederum startet mit E und K und folgert, dass dann L nicht gelten kann. Die Quantenmechanik schließlich erfüllt E und L, kann also K nicht erfüllen. Das heißt, dass sie Observable enthalten muss, die nicht gemeinsam messbar sind und dass wir uns von der klassischen Art der Systembeschreibung durch vollständige Listen von Eigenschaften, also verborgenen Variablen, verabschieden müssen.

Keine Klassische Übersetzung

Damit ist auch klar, dass es keine treue Übersetzung von Quanteninformation in klassische geben kann, wie wir schon in der Einleitung behauptet haben: Wenn wir durch eine einzige Messung genügend klassische Information bekommen könnten, um damit die Quantensysteme neu zu präparieren, dann könnten wir diese Messwerte als verborgene Variable verwenden.

Objektiver Zufall

Da es in der Quantenmechanik keine verborgenen Variablen geben kann, folgt auch, dass die Wahrscheinlichkeiten der Quantenmechanik nicht einen Zufall "aus Unkenntnis" wiedergeben. In der klassischen statistischen Physik würde sich alle Zufälligkeit auflösen, wenn man alle Freiheitsgrade, z.B. die Orte und Geschwindigkeiten, sämtlicher Teilchen wüsste - dies sind gerade die verborgenen Variablen der Theorie. In der Quantenmechanik ist keine solche Auflösung möglich, das heißt, es existiert objektiver Zufall. Insbesondere entsteht der Zufall nicht nur durch die Wechselwirkung mit einem Messapparat und der daraus resultierenden Störung.

Das EPR-Argument

Die ersten, die die Korrelationen zweier quantenmechanischer Teilsysteme ins Gespräch brachten, waren Einstein, Podolsky und Rosen im Jahre 1935. Was sie in ihrer Arbeit[2] (auch als EPR- Arbeit bezeichnet) angriffen, war vor allem die damals gängige "orthodoxe" Vorstellung, dass die Wellenfunktion einzelne Teilchen vollständig beschreibt, also in unserem Sinn als verborgene Variable fungieren kann. Dieser Teil ihrer Argumentation ist völlig schlüssig und die Autoren waren sich auch vollkommen bewusst, dass eine statistisch formulierte Quantenmechanik, in der die Wellenfunktionen nur Ausdruck der Präparation sind, die Situation mühelos erfassen kann.

Einstein war aber jemand, der wichtige Grundprinzipien nicht leichthin aufgab. Im Gegensatz zu seinen damaligen Kontrahenten hatte er gesehen, dass die Quantenmechanik mit grundlegenden Eigenschaften der klassischen Physik nicht vereinbar ist. Aus dem Ergebnis, dass die Wellenfunktionen nicht als verborgene Variable taugen, schlossen die drei Autoren damals, dass die richtigen Variablen, "Elemente der Realität", erst noch gefunden werden müssten, die Quantenmechanik also unvollständig sei. Dieser Einwurf passte aber nicht in die "goldenen Jahre" der Quantenmechanik, in denen viele Probleme gelöst und neue, überaus erfolgreiche Anwendungen entwickelt wurden. Bohr übernahm die Erwiderung und obwohl er das wesentlich Neue an der EPR-Arbeit einfach nicht verstanden hatte, waren die Quantenmechaniker zur damaligen Zeit zufrieden, sich nun nicht mehr mit diesen Bedenken auseinandersetzen zu müssen.

Der Begriff der Verschränkung

Zu den wenigen, die die EPR-Arbeit zu würdigen wussten, gehörte Schrödinger, der für die besondere Art der Korrelation, die hier zutage trat, sowohl den deutschen Begriff Verschränkung als auch den englischen entanglement prägte. In der modernen Terminologie bezeichnet Verschränkung eine Eigenschaft von Quantenzuständen für das Paar-System. Nur für diese besondere Art von Zuständen sind Korrelationen wie in der Quantengeschichte möglich. Unverschränkte Zustände definiert man als solche, bei denen die Korrelation der beiden Teilsysteme dadurch erzeugt werden kann, dass man einen klassischen Zufallsgenerator betreibt und abhängig von den Ziehungen jeweils ein System für Alice und eins für Bob präpariert[3]. Solche Zustände nennt man auch "klassisch korreliert" und wir werden sie in mächsten Abschnitt noch genauer beschreiben. Die Werte des Zufallsgenerators können in diesem Fall wieder als verborgene Variable dienen. Daher können Lose, die in einem unverschränkten Zustand präpariert wurden, niemals die in der Geschichte beschriebenen Korrelationen liefern, also auch nie eine Bell'sche Ungleichung verletzen.


Nachweise

  1. J.S. Bell: On the Einstein Podolski Rosen Paradox, Physics 1:195 (1964)
  2. A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen: Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, Phys. Rev. 47:777 (1935)
  3. R.F. Werner, Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model., Phys. Rev. A 40:4277 (1989)