A2/Eine Geschichte

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A2

Korrelation
Einführung

Lektionen


Abb. 1 (a) Ein Los der Geschichte (b) Öffnen eines Feldes auf der Gewinnseite schwärzt die Testseite.
Abb. 2 Die vier Felder und die von Bob gemessene Übereinstimmung der Symbole. Die rot markierte Korrelation will er abschätzen.
Abb. 3 Die vier Möglichen Kombinationen für Nieten mit GL=X, GR=O.

Bob, der Physiker, geht auf den Rummelplatz. Er schaut sich die Buden und Fahrgeschäfte an, isst Zuckerwatte und kommt schließlich an eine Bude, in der Rubbellose verkauft werden. Daran fällt ihm ein Schild auf, das die besondere Ehrlichkeit der Betreiber hervorhebt, indem den Käufern die Möglichkeit geboten wird, sich selbst vom Zustand der Lose und somit den Gewinnchancen zu überzeugen.

Bob war immer der Meinung, Losbuden seien ein einfach zu durchschauender Trick, um Besuchern das Geld aus der Tasche zu ziehen. Losbuden funktionieren nach dem Prinzip, dass man ein Los kauft, welches sich dann entweder als Gewinn oder als Verlust entpuppt. Natürlich weiß der Kunde eigentlich nie, wie viele der Lose Gewinne und wie viele Nieten sind. Im Extremfall kann der Losbudenbetreiber nur Nieten in den Topf werfen und hoffen, dass es den Kunden nicht auffällt, dass nie ein Los gewinnt. Wenn der Kunde aber nun vorher feststellen kann, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist, dann kann er fair entscheiden, ob ihm der Einsatz das Risiko wert ist. Bob wird neugierig und betritt die Losbude.


Regeln der Losbude


Zuerst lässt sich Bob die Regeln erklären: Auf den Losen befinden sich zwei Gewinnfelder, die freizurubbeln sind. Darunter befindet sich immer entweder ein X oder ein O und man gewinnt, wenn man zwei gleiche Symbole auf den Feldern hat. Jedes Los kostet 1 Euro und falls das Los ein Gewinn ist, bekommt man 2 Euro zurück. Wären nun im Stapel gleich viele Gewinne wie Nieten, läge seine Gewinnchance bei 50% und auf lange Sicht würde er weder Gewinn noch Verlust machen, es wäre also ein faires Spiel. Gibt es mehr Nieten als Gewinne, dann gewinnt auf lange Sicht der Betreiber der Losbude, sind weniger Nieten im Spiel als Gewinne, macht der Spieler Gewinn.

Bob erinnert sich an das Schild vor der Losbude und fragt die Verkäuferin, was es damit auf sich hat. Die Frau erklärt ihm, dass die Losbudenbetreiber ihren Kunden eine Möglichkeit geben möchten, auf die Statistik der Symbole zu schließen und haben deshalb zusätzlich zwei Testfelder auf der Rückseite der Karten angebracht (siehe Abb. 1 (a)). Wenn der Kunde die Karten testen will, darf er entweder beide Testfelder auf der Rückseite öffnen oder ein Testfeld und ein Gewinnfeld, aber nicht beide Gewinnfelder, da zum Testen für die Lose nicht bezahlt werden muss. Zusätzlich sind die Lose so gemacht, dass das Aufrubbeln eines Feldes die Schwärzung des darunterliegenden Feldes zur Folge hat (siehe Abb. 1 (b)), man also nie beide Felder auf der linken bzw. rechten Seite betrachten kann. Damit bleiben drei mögliche Testkombinationen übrig.


Wie kann Bob seine Chancen bestimmen?


Bob beginnt nun nachzudenken: Er darf die Größe, die er eigentlich wissen möchte, nämlich die Anzahl von Gewinnkarten, nicht direkt messen sondern nur durch die übrigen Kombinationen abschätzen. Hierzu nennt er die Felder auf der Gewinnseite GL und GR und die Felder auf der Testseite TL und TR (siehe Abb. 2). Außerdem nennt er die Wahrscheinlichkeit, dass z.B. GL und GR übereinstimmen P(GL=GR) und entsprechend dass sie nicht übereinstimmen P(GL \neq GR). Das Symbol P soll hierbei an das englische Wort "Probability" für "Wahrscheinlichkeit" erinnern.

Würde er zum Beispiel bei allen drei Kombinationen, die er testen darf, immer eine Übereinstimmung der Symbole feststellen, so müssten auch die Symbole auf der Gewinnseite immer übereinstimmen. In Symbolen heißt das, dass aus GL=TR, TR=TL und TL=GR auch GL=TR=TL=GR und schließlich GL=GR folgt. Jede der drei Gleichungen entspricht hierbei einem der Tests, die er umsonst bei den Losen durchführen darf. Diese drei Tests liefern Bob aber nun eine Abschätzung für den Anteil der Nieten im Losstapel: Bei einer Niete gilt ja bekanntlich GL \neq GR demnach muss bei der obigen Gleichungskette zumindest einmal Ungleichheit gelten. Deshalb kann der Anteil der Nieten im Stapel höchstens so hoch sein wie die Summe der Anteile der Karten, bei denen eine der Gleichungen verletzt ist, also

P(Niete) = P(GL \neq GR) \leq P(GL \neq TR) + P(TR \neq TL) + P(TL \neq GR). [1]


Für Bob lohnt es sich nur dann Lose zu kaufen, wenn der Nietenanteil unter 50% liegt.

Machen wir die Abschätzung nochmal ganz langsam. Bob möchte herausfinden, wie viele Nieten höchstens im Stapel sein können. Eine Niete hat auf der Gewinnseite gerade zwei unterschiedliche Symbole, die Symbole auf der Testseite sind beliebig. Obwohl Bob wegen der Regeln der Lotterie nie alle vier Felder gleichzeitig aufdecken kann, nimmt er zunächst an, dass die Symbole unter den Feldern bereits vor dem Öffnen der Felder festliegen. In diesem Fall lässt sich jedes Ticket durch Angabe der vier Symbole beschreiben. Da aber jedes Feld entweder ein X oder ein O enthält, gibt es gar nicht so viele Möglichkeiten: Auf der Gewinnseite kann bei einer Niete entweder die Konfiguration links X und rechts O oder links O und rechts X vorliegen.

Nehmen wir an, es sei die Variante GL=X, GR=O, so gibt es vier Nietenkarten von diesem Typ: Entweder haben die Karten auf der Testseite die Konfiguration TL=X, TR=X oder TL=X, TR=O oder TL=O, TR=X oder TL=O, TR=O. Wir haben die vier Konfigurationen in Abb. 3 skizziert. Um die Anzahl der Nieten abzuschätzen, darf Bob nun drei Korrelationen testen. Wenn man sich die vier möglichen Konfigurationen auf den Nietenkarten ansieht, so wird jede von mindestens einem der Tests erkannt (drei Karten werden in je einem Test, eine in drei Tests erkannt). Da Bob abschätzen möchte, wie viele Nieten höchstens im Stapel sein können, nimmt er an, dass jede Nicht-Übereinstimmung, die er sieht, auch zu einer Niete gehört. Dieses führt direkt auf die angegebene Abschätzung. Im Fall, dass die Niete die Kombination GL=O, GR=X hat, ergibt sich dieselbe Abschätzung, nur mit X und O jeweils vertauscht. In beiden Fällen ist die angegebene Abschätzung für Bob optimal.


Bob nutzt die Abschätzung


Er lässt sich nun von der Losverkäuferin einen Stapel Lose zum Testen geben und beginnt, eine Statistik für die Messergebnisse zu erstellen. Zuerst betrachtet er die Symbolhäufigkeit der Felder getrennt und bemerkt, dass die Wahrscheinlichkeit ein X oder ein O freizurubbeln für jedes Feld genau 50% beträgt, die Symbole auf den vier Feldern also gleichverteilt sind. Für seine Abschätzung der möglichen Anzahl der Nieten interessieren ihn jedoch die Korrelationen der Ergebnisse zweier unterschiedlicher Felder. Anhand der Testlose hierbei stellt Bob nun fest, dass die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Symbole in den drei möglichen Kombinationen jeweils 15% beträgt, also P(GL \neq TR) = P(TR \neq TL) = P(TL \neq GR) =15\%. Um hieraus den Anteil der Nieten abzuschätzen nutzt Bob nun die oben beschriebene Ungleichung. Als er die Zahlen einsetzt, stutzt Bob, denn das bedeutet ja, dass der Anteil an Nieten im Stapel höchstens 3 \cdot 15\% = 45\% betragen kann. Das bedeutet aber auch, dass der Anteil an Gewinnkarten mindestens 55% sein muss. Das Spiel ist also nicht nur fair, sondern sogar leicht vorteilhaft für den Spieler. Bei einer Gewinnchance von 55% und 2 Euro Gewinn bei einem Einsatz von 1 Euro ergibt sich eine erwartete Auszahlung von 1,10 Euro, also ein erwartetes Plus für ihn von immerhin 0,10 Cent. Jetzt gibt es für Bob kein Halten mehr und er gibt all sein Bargeld für Lose aus. Mit jedem Los, das er öffnet, wird er jedoch immer entsetzter, denn kaum ein Los ist ein Gewinn, die meisten sind Nieten. Insgesamt sind nur 15% seiner Lose Gewinne und sein Abend auf dem Rummelplatz wird aus Geldmangel heute etwas früher beendet.


Wo lag der Fehler?


Aber was war passiert? Natürlich ist seine erste Idee, dass die Losverkäuferin die Testkarten aus einem anderen Stapel zieht als die Karten für die er bezahlt. Doch hatte er genau aufgepasst und die Testkarten und die gekauften Karten kamen immer von demselben Stapel - keine Möglichkeit, da etwas zu manipulieren. Seine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit beruhte jedoch darauf, dass die Karten passiv sind, also alle vier Symbole auf dem Los schon festliegen, bevor er ein Feld freirubbelt. Sollten die Lose aber aktiv sein, z.B. getarnte Chipkarten, die erst nach dem Öffnen des ersten Feldes die Werte auf der anderen Seite festlegen, wäre seine Überlegung nicht zutreffend. Zum Beispiel könnten bei einem solchen aktiven Los durch das Öffnen des Gewinnfeldes links die Werte GR \neq GL und TR=GL erst festgelegt werden, wohingegen beim Öffnen des Testfeldes links die Werte GR=TL und TR=TL festgelegt werden. Dann würde Bob zu dem Schluss verleitet, dass es nur Gewinnlose gäbe, aber alle Lose würden sich als Nieten entpuppen. Auch die gemessene Statistik wäre leicht mit so einer aktiven Chipkarte zu erzeugen.

Bob ist nun zuversichtlich, den Trick der Losverkäuferin durchschaut zu haben, und da er seinen Verlust vom Vortag wieder zurückgewinnen möchte, geht er am nächsten Tag noch einmal auf den Rummelplatz. Er fragt die Losverkäuferin, ob er die Lose auch in der Mitte zerschneiden dürfte - in der Hoffnung so den aktiven Einfluss der Öffnens eines Feldes auf die andere Seite des Loses zu unterbinden. Die Dame bejaht und er kauft wieder eine große Anzahl Lose. Jedoch stellt er auch nach dem Zerschneiden weder bei den Tests noch beim Öffnen beider Gewinnfelder eine Veränderung in den Wahrscheinlichkeiten fest.


Sind es wirklich keine aktiven Lose?


Bob ist überrascht, denn auch durch das Zerschneiden wird eine mögliche Kommunikation der beiden Hälften der Lose nicht unterbunden. Aber Bob hat gleich noch eine Idee: Er hat die Lose zwar zerschnitten, aber sie liegen immer noch dicht nebeneinander. Demnach könnte es immer noch ein Funksignal geben, welches die Information von einer Hälfte eines Loses zur anderen trägt. Um dies auszuschließen, muss Bob die Loshälften so weit voneinander trennen, dass zwischen dem Zeitpunkt des Öffnens der einen Seite und dem Öffnen der anderen Seite kein Signal zwischen den Hälften ausgetauscht werden kann. Zum Glück für ihn kennt er die Relativitätstheorie, welche besagt, dass sich kein Signal schneller als das Licht ausbreiten kann und somit eine solche raumartige Trennung erst erlaubt. Er kann jedoch so ein Experiment nicht alleine durchführen, also bittet er Alice um Hilfe. Alice nimmt die linken Loshälften (also die mit den L Feldern) auf eine weite Reise. Beide synchronisieren vorher noch ihre Uhren, um wirklich im selben Moment die Felder jeweils zueinandergehörender Hälften zu öffnen und so sämtliche Signale währenddessen zu unterbinden. Zu den vorgesehenen Zeiten öffnen Alice und Bob jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% entweder ihr Test- oder Gewinnfeld. Nach der Reise treffen die beiden sich wieder und vergleichen ihre Ergebnisse. Dabei stellen sie fest, dass sich am Ergebnis immer noch nichts geändert hat, die Lose also sicher keine aktiven Elemente beinhalten.

Bob weiß nun nicht mehr weiter, hatte er doch für seine Abschätzung nur etablierte Eigenschaften der klassischen Physik und Statistik benutzt. Daher fragt er bei der Verkäuferin nach, wie denn diese merkwürdigen Lose hergestellt werden. Sie antwortet ihm, dass die Lose mithilfe der Quantenphysik hergestellt sind. Die beiden Loshälften befinden sich in einem speziellen Zustand, der nach den Gesetzen der klassischen Physik nicht möglich ist, und den man auch als verschränkten Zustand bezeichnet. Das Freirubbeln des Gewinnfeldes oder des Testfeldes wird realisiert durch zwei nicht gemeinsam ausführbare Messungen. Nun will Bob es aber genauer wissen, und alles über diese besondere Art von Zustand und den dazugehörigen Messungen wissen. Da aber schüttelt die Verkäuferin den Kopf uns sagt ihm, dass er da doch wohl besser einen Kurs in Quantenphysik besuchen sollte.

  1. Diese Ungleichung gehört zu einem allgemeinen Typ von Ungleichung, die wir später als Bell'sche Ungleichung bezeichnen werden.