A3/Keine Messung ohne Störung

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A3

Kommunikation
Einführung

Lektionen


Wir hatten im letzten Abschnitt gesehen, dass Quantenkryptographie funktioniert, da jeder Versuch, die Quanteninformation abzuhören, notwendigerweise mit einer Störung des Signals verbunden ist. Nun wollen wir dieses Prinzip von einem etwas allgemeineren Standpunkt aus betrachten. Wir werden sehen, dass es gerade zu den grundlegenden Wesenszügen der Quantenmechanik gehört, dass jede Messung eines Systems eine unvermeidbare Störung nach sich zieht, die insbesondere auch quantifiziert werden kann. Wir haben das in dem Merksatz "keine Messung ohne Störung" zusammengefasst, den wir im Folgenden erläutern wollen.

Was ist ein Messgerät?

In den bisherigen Kapiteln hatten wir uns mit Messungen beschäftigt, bei denen der Zustand des Quantensystems nach der Messung nicht betrachtet wurde. Dies entspricht vielen der praktisch experimentell zugänglichen Messungen, wie z.B. der Messung von polarisiertem Licht in einem Klickdetektor, bei dem das den Klick erzeugende Licht im Detektor absorbiert wird. Im Allgemeinen können wir uns aber auch Messungen vorstellen, bei denen nach der Messung ein klassisches Ergebnis und ein \varrho vorliegen. Wenn wir den Zustand vor der Messung mit \varrho_1 bezeichnen, so ist die Messung dann eine Abbildung von \varrho_1 auf ein Tupel (\varrho_2,x), wobei \varrho_2 der Zustand nach der Messung und x das klassische Messergebnis ist. Anmerkung: Sollte es nötig sein, lässt sich die Messung auch immer beschreiben als eine Abbildung von einem Tupel (\varrho_1,x_0) auf ein Tupel (\varrho_2,x), wobei x_0 den Zustand des Messgerätes vor der Messung, also seine "Nullstellung", beschreibt.

Wir erwähnen an dieser Stelle, dass der angekündigte Zusammenhang von Störung und Messung ein Spezialfall eines noch allgemeineren Satzes ist. Im Allgemeinen kann das zweite System, welches in unserem Fall das Messgerät darstellt, beliebig sein. Im Fall des Messregisters reicht es aus, wenn das System klassisch ist, also durch einen klassischen Zustand beschrieben wird. Generell könnte hier auch ein Quantensystem stehen. Wir werden nun einige Definitionen für den Sprachgebrauch bereitstellen, die sich auch auf die allgemeine Situation beziehen können.

Definitionen

Wir nennen einen Kanal "ideal", wenn er sämtliche Eingangszustände ohne Störung wiedergibt. Wenn wir den Kanal mit T_{id} bezeichnen, heißt das also, dass für alle Zustände \varrho gelten soll, dass T_{id}(\varrho) = \varrho ist. Solch ein idealer Kanal wird auch als identische Abbildung oder die "Identität" bezeichnet. Ein idealer Kanal erhält somit alle Information, die man in ihn hineinsteckt.

Das "Gegenstück" zu einem idealen Kanal ist ein "depolarisierender Kanal". Dieser ist dadurch definiert, dass er den Eingangszustand vergisst und einen neuen Zustand präpariert und ausgibt, welcher nichts mehr mit dem Eingangszustand zu tun hat. Bezeichnen wir diesen Kanal als T_{dep}, so gibt es einen Zustand \sigma, so dass für alle Zustände \varrho gilt, dass T_{dep}(\varrho) = \sigma. Ein solch depolarisierender Kanal ist somit vollkommen vergesslich, es gibt keine Möglichkeit, aus dem Ausgangszustand etwas über den Eingangszustand zu erfahren.

Der Satz

Damit haben wir die Begriffe zusammen, um den Zusammenhang zwischen Messung und Störung zu beschreiben. Hierzu betrachten wir ein Messgerät, beschrieben wie oben als Abbildung eines Eingangszustandes auf den Ausgangszustand, und das klassische Register. Dann lautet der Satz in seiner einfachsten Form:

Wann immer der Kanal vom Eingangszustand auf den Ausgangszustand ideal ist, ist der Kanal vom Eingangszustand auf klassisches Register depolarisierend.

Anders ausgedrückt bedeutet dies, wenn der Kanal bei keinem Eingangszustand eine Störung hervorruft, dann sind die Messergebnisse unabhängig vom Eingangszustand. In der eben gegebenen Form wäre der Satz jedoch noch etwas schwach, da er sich nur auf störungsfreie ideale Kanäle bezieht. Der eigentliche Satz ist stärker, da er einen quantitativen Zusammenhang von Messung und Störung liefert. In dieser Lektion haben wir leider nicht die technischen Möglichkeiten, dies präzise zu formulieren. Die genaue Formulierung folgt dann in Kapitel C.3. Wir halten aber fest, das der Satz besser lauten sollte:

Wenn der Kanal vom Eingangszustand auf den Ausgangszustand fast ideal ist, so ist auch der Kanal vom Eingangszustand auf das klassische Register fast depolarisierend.

Spezialfälle

Wir weisen hier auf ein mögliches Missverständnis hin: Es ist für den Satz wichtig, dass Informationen über einen beliebigen Anfangszustand gewonnen werden sollen. Wenn bestimmte Vorinformationen vorliegen bzw. der Bereich der zu messenden Zustände und der zur Verfügung stehenden Messungen eingeschränkt ist, kann es durchaus vorkommen, dass Messungen für die gegebenen Zustände störungsfrei sind. Auch in der QM gibt es Zustände, die durch eine Messung perfekt unterschieden werden können, wenn wir z.B. den Polarisationsfreiheitsgrad bei Licht betrachten wären dies etwa die Zustände "horizontal polarisiert" und "vertikal polarisiert". Wenn man ein Experiment betrachtet, in welchem nur entweder horizontal oder vertikal polarisiertes Licht vorkommt, so können diese durch eine Messung störungsfrei unterschieden werden. Dies entspricht gerade einem Übergang in Richtung der klassischen Welt: Hier sind alle Zustände durch Messung unterscheidbar und gleichzeitig gibt es keine fundamentale Störung während einer Messung.

Zusammenhang mit Quantenkryptographie

Angewendet auf die Kommunikation liefert dieses Prinzip gerade eine intuitive Begründung, warum die Quantenkrypotigraphie sicher ist: Wann immer ein Angreifer versucht, ein Quantensignal abzuhören, muss er das System messen, wobei er notwendigerweise eine Störung des Signals verursacht. Die quantitative Version des Satzes (die wir hier nur angedeutet haben) liefert dann eine Abschätzung, wie viel der Nachricht an den Angreifer maximal abgeflossen sein kann. In der klassischen Physik ist ein solches Prinzip nicht möglich - hier gibt es keine untere Schranke für den Grad der Störung, die durch eine Messung verursacht wird, und auch keinen quantitativen Zusammenhang zu der dadurch verfügbar gemachten Information.