A3/Von Bit und Qubit

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A3

Kommunikation
Einführung

Lektionen


Wir hatten im letzten Abschnitt von quantifizierbarer Information gesprochen. In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, was dies für die klassische Informationstheorie und die Quanteninformationstheorie bedeutet und die grundlegenden Einheiten für die jeweilige Information - das Bit und das Qubit - einführen.

Das Bit

Zu den Grundaufgaben der Informationstheorie gehört es zu quantifizieren, wie viele Informationen in einem gegebenen Medium gespeichert werden können. Hierbei entwickelt man intuitiv die Vorstellung, dass diese Informationen additiv sein sollten. Das bedeutet, dass also zwei Buchseiten genau doppelt so viele Informationen enthalten wie eine Buchseite oder dass in zwei Minuten Zeit mit einem Funkgerät doppelt so viele Informationen übertragen werden können wie in einer Minute. Das einfachste Beispiel für Information in der klassischen Welt ist ein Schalter: Ein solcher Schalter hat zwei mögliche Positionen, sagen wir "Ein" und "Aus", oder einfacher "0" und "1". Man definiert, dass ein solcher Schalter genau 1 bit an Information trägt. Demnach tragen zwei Schalter 2 bit Information.

Mehrere Bits

Nun überlegt man sich, wie viele unterschiedliche Stellungen zwei Schalter einnehmen können. Wenn ein Schalter die Stellungen 0 und 1 haben kann, so ergeben sich bei zwei Schaltern 4 Möglichkeiten, nämlich die Kombinationen 00, 01, 10 und 11. Bei drei Schaltern wären es schon acht Möglichkeiten (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 und 111). Wir bezeichnen die möglichen Stellungen auch als die möglichen Zustände des Systems. Für N Schalter, die ja nach Definition eine Informationsmenge von N bit tragen, ergeben sich also 2^N Zustände.

Demnach wächst die Anzahl der möglichen Zustände exponentiell, wenn man die Anzahl der zur Verfügung stehenden Speicher (z.B. Schalter) erhöht. Wenn man nun umgekehrt einen Speicher betrachtet, der in einem von k verschiedenen Zuständen sein kann, so trägt dieser \log_2 k Bit an Information.

Kodierung eines Alphabets

Betrachten wir ein weiteres Beispiel: In der deutschen Sprache gibt es 26 (Grund-) Buchstaben. Möchte man diese Buchstaben nun in Bits (also quasi in Schalterstellungen) kodieren, so braucht man hierzu mindestens \log_2 26 \approx 4,7 bit. Falls noch zwischen Klein- und Großschreibung unterscheiden werden soll, kommt für diese Unterscheidung ein Bit hinzu. In der Informationsverarbeitung hat es sich eingebürgert, jeden Buchstaben mit 8 bit zu kodieren, welches Platz für 2^8 = 256 Zeichen gibt. Somit kann man nicht nur kleine und große Buchstaben, sondern auch die Umlaute sowie eine Anzahl an Sonderzeichen (wie das Leerzeichen oder das Fragezeichen) kodieren. Ein solches 8bit-Symbol wird auch als Byte bezeichnet und wird oft als Einheit für die Größe von Datenträgern verwendet, beispielsweise für Festplatten oder USB-Sticks.

Unabhängigkeit von der Realisierung

Wir betonen hier nochmal, dass der Begriff des Bits zunächst unabhängig von der Art ist, wie das Bit gespeichert wird, also wie es physikalisch realisiert ist. Ein Bit kann auf einer Festplatte als Magnetisierung, in einem Rechner als "hohe Spannung" oder "niedrige Spannung" oder optisch als "Licht an" oder "Licht aus" realisiert werden. Es ist gerade ein Merkmal der Informationstheorie, dass der Begriff der Information ohne Referenz zu einer bestimmten Realisierung verwendet werden kann.

Das Qubit

Auch in der Quanteninformation gibt es eine solche Grundeinheit: das Qubit. Auch hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, ein solches Qubit zu realisieren, beispielsweise als Polarisation von Licht, als Spin eines Elektrons oder als Anregungszustand in einem Atom. Ein Qubit liegt immer dann vor, wenn in einem System genau zwei Zustände mit Sicherheit durch Messungen unterschieden werden können. Nennen wir diese zwei Zustände \vert 0 \rangle und |1\rangle. Die Notation in den Klammern |.\rangle wird an dieser Stelle zunächst verwendet, um daran zu erinnern, dass es sich bei dem betrachteten System um ein Quantensystem handelt. In der Formulierung der QM entspricht die Notation später gerade einem Vektor im Hilbertraum. Es ist nun wieder eine der Eigenschaften der Quantenmechanik, dass ein solches Qubit sich nicht nur in Mischungen der beiden Basiszustände befinden kann, sondern dass sich auch Superpositionen ergeben. Wir werden an dieser Stelle zunächst keine formale Definition vornehmen (die folgt dann in Lektion B.1), sondern ein prominentes Beispiel für ein Qubit betrachten: die Polarisation.

Beispiel: Polarisation
Abb. 2 Schematische Darstellung der Bloch Kugel für den Fall der Polarisation.

Betrachten wir als Beispiel ein Qubit, welches durch polarisiertes Licht realisiert ist. In diesem Falle könnte der Zustand |0\rangle durch horizontal polarisiertes Licht und der Zustand |1\rangle durch vertikal polarisiertes Licht dargestellt werden. Hier bietet die Quantenmechanik die Freiheit, diese Basiszustände nicht nur inkohärent zu überlagern, woraus sich unpolarisiertes Licht ergeben würde, sondern auch kohärent, wodurch sich je nach Phasenlage beispielsweise zirkular polarisiertes Licht ergibt. Eine geeignete Darstellung eines quantenmechanischen Qubits bietet die so genannte Blochkugel (siehe Abb. 2).

Auf der Blochkugel liegen Zustände, die durch eine Messung sicher unterschieden werden können, gegenüber, also z.B. horizontal und vertikal polarisiertes Licht. Auf dem Rand der Kugel befinden sich die so genannten reinen, im Inneren die gemischten Zustände. Den Mittelpunkt bildet der maximal-gemischte Zustand, den man hier auch als unpolarisierten Zustand bezeichnet. Später werden wir noch näher auf die Eigenschaften von polarisiertem Licht am Beispiel des BB84-Protokolls eingehen.